摘要：数学教材中存在着大量的“非连续文本”，根据数学学科特质及小学数学课程提出的“数学思想”这一目标，教师可以通过：立足符号基点，理解意义指向;转化文本内涵，构建多重表征;融合多层视角，聚焦核心思想;立体螺旋上升，升华思想实质等方法，剖开多样化的文本表征，挖掘教材中“非连续文本”所表征的数学思想，直击表层底下深藏的数学思想，以一种超越文本的统摄视角欣赏数学思想。
关键词：非连续文本;数学思想;文本表征
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）02B-0079-05
国际PISA2009阅读素养测评把文本形式分为四种：连续文本、非连续文本、混合文本和多重文本，其中连续文本和非连续文本是文本的两种基本形式。在小语界非连续性文本是语文教学上的一个空白，为此《义务教育语文课程标准（2011年版）》提出了“阅读简单的非连续性文本，能从图文等组合材料中找出有价值的信息。”但由于数学学科属性，非连续文本在数学教材中几乎随处可见，或者说学生的学习依附着大量的非连续性文本。正视非连续性文本的阅读，在有别于语文学科，旨在“寻找有价值的信息”外，挖掘数学学科中的非连续性文本的数学思想，值得每一个数学教师探索和研究。
一、非连续文本解读的扭曲
教材非连续性文本式的呈现方式承受着学生与教师的双重解读，而这样的解读往往代表着矛盾行为的两极：学生的解读存在于“学”层面，教师的解读存在于“教”的层面，但无论是何种解读都印证着格式塔心理学派的阅读理论观点：人的心智感知到的事物不是各种孤立的要素，而是构形（configuration）或者有序的范型（organized patterns），读者读一个文本，都是在寻找这种构形。沃尔夫冈·伊瑟尔进一步补充：所有的文本都留有空白（gaps），这些空白期待着读者去填补。这种自由式的文本解读提供了文本背后的多种潜在的可能性，但同样带来了问题，可能无法把握文本的实质或思想。
（一）时间错位化解读
数学学科具有很强的逻辑性和严谨性，每一个知识点就像散落在棋盘上的每一个棋子，它们并非是杂乱无章、相互割裂的，相反存在着时间先后、主次的逻辑关系且在运动着相互关联。但是文本存在着某一时态的“固态”形式，然而作为教师和学生的解读则往往面临着结果和过程的选择。犹如同看一部电影，学生沉醉于过程的“看”（知识的发展及演化），却对未来发生的一切浑然不知，教师则犹如导演通盘知晓，对将来发生的一切已了然于胸，两者同看一部电影想必“眼界”必然不同，这种时间的错位影响着教学。例如三年级（下）《认识分数》一课，此课连接着上册的“某一个物体几分之一”，五年级下册“单位‘1’的几分之一或者几分之几”。对于学生而言，他们是学习途中一个旅者，存在于当下对此文本的理解，教师则对三个分数学段都十分清晰，于是不自觉地产生了时间错位——在三年级（下）教学中刻意地提高抽象至“一个整体的几分之一”教学目标，然而细读教材从头至尾没有出现“一个整体”的字眼。这种“速成鸡”式的空白填补不仅揠苗助长，违背了儿童身心发展规律，而且蒙蔽了学生将多种数量不同的实物抽象成符号化数学思想的过程。
（二）空间狭隘化解读
教材中的非连续性文本拥有着文本内涵和外延的属性，文本的外延性赋予了读者（教师与学生）前所未有的重要性，强调文本的意义乃是读者解释的结果。但是我们不可否认文本自身存在的价值，它通过自我解释在某处引导着读者，或者说一个文本总会给读者提供相应的线索和暗示。但有时候读者的解读面临着被自身的经验或意识形态所束缚而忽略主旨的尴尬。例如在五年级上册《解决问题的策略——一一列举》一课，教材提供了这张表格（如表1），而这张表格也是本课教学的重点，很多教师在教学这一内容时都存在以下问题：表格变成了封闭，导致学生一下子就知道有5种可能，无形中遏制了思维空间。如此过于注重结果的狭隘化解读不仅让孩子失去了“试错”尝试的机会，而且割裂了“有序的一一列举”这一数学思想与表格之间的表征关系。
（三）思想割裂化解读
分析教材中的非连续性文本始终包含着三种元素：数学知识、数学方法、数学思想。这三者相互依存，互为表里，数学知识是载体，数学方法是功能，而数学思想是隐含的灵魂，因此它比其余两者更具永恒性和实用性。但是在教学过程中，教师会不自觉地丢弃思想这一文本核心。例如一年级（下）《20以内的退位减法》（如图1），青椒、萝卜、番茄各自表征几种不同的数学思想，青椒和萝卜都是采用建模思想，减数分解或被减法分解，旨在体现整数十的价值，番茄表征着方程思想。这些思想涵盖着整个小学阶段的数学学习甚至是学生学习数学的终身，但片面追求结果的功利主义将思想人为地淡化了，割裂其延伸性，形成了“站在什么山上唱什么歌”的窄化教育视界。
二、非连续文本数学思想的“立体化”构建
（一）立足符号基点，理解意义指向
A.D.亞历山大洛夫说：“如果没有合适的数学符号就不能将算术推向前进，尤其是如果没有专门的数学符号和公式简直就不可能有现代数学。”诚然数学学习离不开对数学符号的理解，符号也是数学抽象化的结果。语言学家索绪尔将符号分为了两个部分：一个是能指（signifier），或曰声象（sound-image），一个是所指（singnified），或曰符号所涉及的概念。例如当我们将“÷”读成“chú yǐ”构成一个能指，但这个运算符号背后却表征着“平均分”的思想，构成了所指，而这样的联系在数学里是约定俗成的。但在学习过程中，我们会随时看见很多孩子在解决问题时候的胡子眉毛一把抓，“+、-、×、÷”乱用一通。究其原因是“能指”与“所指”的割裂，因此教学中不仅要认识基本的数学符号，更要理解其背后的数学思想。
例如在学习《圆的面积》一课，其知识目标任务是归纳得出圆的面积=πr2，一个老师告诉我：她在教学完这个公式后让学生完成书本的练习：一个圆形电子元件薄片，直径是16厘米，这个电子元件薄片的面积是多少平方厘米？一个学生不会，她把学生叫到办公室辅导，问：“圆的面积公式是什么？”学生说：“S=πr2”几分钟过去了，学生咬着笔头，只字未写。于是老师继续问：“圆的面积公式是什么？”学生还是继续回答“S=πr2”但是始终无从下笔。其实“S=πr2”是一个高度抽象化、简洁化的符号公式，我曾问学生你是怎么理解这个公式的？学生的回答多种多样：π×r2，π×r×r，3.14×半径的平方，3.14×半径×半径，还有一种是它来自于长方形面积公式。虽然这些解释看似都是正确的，但是其理解的层次明显不同。如π×r2是πr2的简单解释，即使学生明确了πr2省略了乘号，但是未必清晰了r2是r×2还是r×r。当学生用中文说明公式的时候，说明学生已经将“能指”和“所指”达到统一，对解决诸如上述类型的问题应该毫无问题，但当一个学生在大脑中能浮现将圆进行若干等分拼成一个近似于长方形后说：“圆的面积来自于长方形的面积”时，不仅说明学生对平面图形的面积计算已经融会贯通，同时对πr2所表征的转化思想及极限思想也有明确的认识。因此作为教师应重视每一个数学符号的教学，从最初启蒙的“+、-、×、÷”中，从每一次公式推演中，从“有形”中表征出“无形”数学思想。
（二）轉化文本内涵，构建多重表征
数学思想的无形必然依赖与形式化的产物，形式化的目的是把纯粹的数量关系从现实世界的纷繁复杂的事物联系中抽取出来，简洁明了地加以表示，以便揭示各种事物的数学本质和规律性。 从这个角度而言，教材中非连续性文本已是现实世界概括化的产物，正如法国布尔巴基学派所认为的：“数学的一大堆形式符号和推理程序、公式组合，无非是数学自身的语言，是数学家赋予他的思想的外部形式，公理方法的目的是引导人们寻求这些细节下面的深刻的共同的思想……”而这些“思想”都蛰伏在文本中，需要我们去唤醒。
例如在教学《找规律》一课中有这样一题：有三位小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张？学生纷纷动手解答，有的孩子用文字表示，将每一种情况都一一罗列;有的孩子将名字简化成字母进行排列;有的孩子将名字简化成数字进行排列。（如表2）
在这样不断的转换过程中，数学思想在逐步唤醒，同样随着数学思想的觉醒，我们的表征也会日臻完美，最后有学生画出了图表示（如图2）。回顾这个历程，我们可以发现让学生经历“具体事物—学生个性化符号表示—学会数学地表示”这一逐步抽象符号的过程，不仅丰富了表征语言和表征形式，还让学生“掌握事物的结构，就是允许许多别的东西以与它有意义地联系起来的方式去理解它。”（布鲁纳）但这些也存在于知识、技能层面。只有当孩子系统地运用数学符号，简明地表达数学思想，才真正触及了数学的本质。诚如巴特所认为的：“任何表征都可以看作一个文本或符号系统，这一文本如何进行表达，与它表达什么同样重要。”
（三）融合多层视角，聚焦核心思想
维特根斯坦曾注意到：在一幅画中，一个正在上坡的人，也可以看成是在倒退着下坡。他接着引述：“表征只有得到解释才成其为表征，最终能引起广泛的联想，发现其潜在的表征内涵。”从这个角度而言，无论是人教版、苏教版、西师大版等教材都是实现教学数学思想一种的表征，它亟待教师去“解释”。也因为如此，教师对于教材中的非连续性文本的解释往往也会受“语境”所困，因为在一套完整的教材中已构建了对应的“心理图式”，而数学思想的把握则要求我们拥有更宽阔的视角。例如+++这一问题，苏教版和人教版采用类似的表征方式，但蕴含的数学思想则各有侧重。如图3：
因此在教学中苏教版《解决问题策略——转化法》中，在完成+++计算中，可以让学生在原式上继续补充+、+、+等分数，观察所加的分数有什么特点？假如你在正方形中表示，你有什么发现？学生能发现所加的分数越来越小，同时在正方形中画的面积越来越小，慢慢接近0，那么他们就会推演+++++++……=1-0=1。如此“一题多吃”让学生感受到了类比、数形结合、极限等思想交融共生。正如巴特说的，文本并非释放了一个唯一的“神圣”的意义，而是一个多维度的空间。在这一空间里，各种想法相互共存，他们相互调和，相互碰撞，也正是这样的碰撞着重投射出了绚丽的数学思想。
（四）立体螺旋上升，升华思想实质
日本一位著名数学教育家说过：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。”此话在说明数学思想价值的同时，传递了思想是诸多文本不断累积和提炼的过程。反之，同一种思想有着不同的表征而散落于各学段的文本中，此刻则更需要教师运用体系化的视野，整体构建知识体系，实现数学思想的整体化。
例如在教学《解决问题的策略——转化法》中，教师补充了曹冲称象的情景及教材中提供的非连续性文本（见图4），把学生的解决问题方法不断抽象，明确了“等量”是转换的必备要素，接着老师再次将原有认识提升，提炼归纳得到转化的实质：由难转化为易这一哲学层面。实现数学思想的整体化，不仅可以在一节课中零散的文本中得以实现，而且还可以跨节实现。比如在一个单元结束时概括提炼，甚至还可以跨年段。例如当学生整体学完小学阶段所有的计算，可以通过讨论：整数、小数、分数的加减乘除的计算有什么共同点？其中蕴含什么数学思想？以此不仅完善了学生的知识图谱，而且用“集成“眼光看问题，便于实现数学思想的整体升华。
孟子云：“不以文害辞，不以辞害志。以意逆志，是为得之。”剖开多样化的文本表征，直击表层底下深藏的数学思想，以一种超越文本的统摄视角欣赏思想之永恒绚烂，正如德里达所言：“万物皆文本，文本即思想。”
Desultory Text： Representation of Mathematics Ideology
XU Jian-lin
（Wujiang Economic Development Zone Huagang Yingchun Primary School， Suzhou 215200， China）
Abstract： A great number of desultory texts exist in mathematics textbooks， and in accordance with mathematics features and ideology， teachers may start with sign bases and understand the significance orientation; teachers may transform text connotation and construct multiple representation; teachers may integrate multi-level perspectives and focus on the core ideology; and teachers may progress in a solid and spiral way to sublimate ideological essence. The above methods can be adopted by teachers to analyze various text presentations and to mine the mathematics ideology represented by “desultory texts”， so that the hidden mathematics ideology beyond the surface can be discovered and we can appreciate it from the perspective of transcending texts.
Key words： desultory text; mathematics ideology; text representation
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非连续文本：数学思想的一种表征
2018-05-02 来源:江苏教育研究 作者：徐建林
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