摘要：“数学小课题研究”是以学生为研究主体，针对学生日常生活、学习中的实际问题，引导学生综合运用已有的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验解决问题的实践活动。“数学小课题研究”活动的开展可以有效培养学生的应用意识与创新意识，提升学生的综合素养。教师可通过机动课时等时间，通过数学实验、调查统计、数学游戏、观察日记、文献分析等方式来实施。 
　　关键词：数学小课题研究 ;课题开发;课题实施 
　　中图分类号：G622.0 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）02B-0055-06 
　　当前义务教育数学课程标准在各学段安排了四个部分的内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。[1]其中，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”领域都有较为具体的内容，而“综合与实践”领域的内容则相对较为空洞，只是明确它是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动;在学习活动中，学生将综合运用所学的知识和方法解决实际问题。纵观各版本的小学数学教材，“综合与实践”的内容也是零零星星，真正落实到日常课堂教学中的更是凤毛麟角。究其原因，笔者以为主要是一线教师缺少开展“综合与实践”活动的素材和方法。基于此，近年来，大家纷纷开发设计各式各样以学生为研究主体的综合实践活动。于是，“数学小课题研究”便慢慢走进我们的视野。 
　　“数学小课题”指可供学生运用已有的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验开展研究的各类实际问题。学生面临这些问题时，他们通过数学推理、实验操作、调查分析、查阅资料等手段，经历探索、实践、研究、发现等过程，处理信息、解决问题，得出个性化结论，并最终用数学语言或文字表达自己的不同见解。 
　　一、数学小课题的开发 
　　“巧妇难为无米之炊”，没有好的“数学小课题”自然无法展开相关的研究活动。因此，我们应在遵循趣味性、基础性、过程性、开放性、实用性等原则的前提下，从梳理现行教材内容入手，释放出更多有利于学生充分体验学习过程的时间和空间，使自主、合作、探究学习成为可能。同时，充分挖掘学生现实生活中的教育资源，通过对学生所处的社会生活、家庭生活、学校生活等现实环境的关注，捕捉与学生数学学习密切相关的生活要素，结合学生个体或者群体的实际认知水平，加以开发、提炼、加工和整合，使之成为学生数学学习的有效教育资源，培养学生带得走的能力，全面提升学生的综合素养。 
　　（一）价值探寻 
　　1.国家课程校本化实施的新载体 
　　《义务教育數学课程标准（2011年版）》在每个学段“课程内容”中都对“综合与实践”的内容提出了一些总体要求。“数学小课题研究”直接对接这些要求，教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动，将“综合与实践”活动引向深入，填补广大教师开展研究时问题匮乏这一空白，为教师组织学生开展小课题研究提供了可资借鉴的材料，是国家课程校本化实施的新载体。 
　　2.激发学生数学学习的兴趣 
　　“数学小课题研究”直面真实的问题情境，将静态的数学用学生喜闻乐见的方式呈现出来，引领学生“做中学”，颠覆现实中学生对数学的固有印象，使学生好玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到学习活动中，真正体验到数学不光是枯燥的计算和解题，还有生动的创造与应用，激发学生学习数学的兴趣。 
　　3.引领学生用理性的方式思考问题 
　　小学生由于特定的年龄特征，他们思考问题时更多依赖感性思维，但随着年龄的增长，阅历的不断丰富，学生的理性思维也会得以发展。“数学小课题研究”注重渗透科学的研究方法，即“确定主题—拟定计划—开展研究—形成结论”，引导学生在这样的过程中逐步学会用理性的方式思考问题。 
　　4.培养学生的团队合作能力 
　　合作交流是学生学习数学的重要方式之一。不过在日常课堂中，我们很少看到学生主动去合作，更多的是学生在教师指令下“被合作”，这断不是我们期望的状态。“数学小课题研究”拓宽了研究的时间和空间，学生因为共同的研究任务而自主组建研究小组，从而让合作成为一种需要，真正地进行分工、协调和交流。[2] 
　　5.发展学生的应用意识和创新意识 
　　应用意识和创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。“数学小课题研究”实质就是一种创新活动，它选题基于学生的数学现实，贴近学生的日常生活，研究过程没有既定的程序，必将充分激活学生的潜能，综合运用所学知识和方法解决问题。学生的应用意识和创新意识自然会在研究活动中得到相应的发展。 
　　（二）课题来源 
　　1.日常生活中的数学小课题 
　　数学源于生活。学生作为一个活生生的个体，多姿多彩的学校生活、家庭生活和社会生活会在他们的脑海中留下深深的印记，稍微留心一下便不难发现在日常生活中有许许多多值得深入研究的数学小课题。这些数学小课题的研究可以有效培养学生从数学问题看生活、从生活中发现数学问题的思维习惯。[3] 
　　比如，一般而言，学生进入小学，在这所学校学习的六年时间里，他们从一个个乳臭未干的小毛孩成长为一个个意气风发的阳光少年。其间，随着年级的增长，教室的更换，学生自然关注到不同教室中课桌椅的高度不同的现象。但是，往往一个班级布置的课桌椅不能满足不同身高学生的需求，有学生便提出“课桌椅的高度与身高的关系”这一小课题。学生通过实地测量、调查访问、收集数据，统计出适合自己班级每名学生的课桌椅型号，在班主任老师的协调下更换掉不合适的课桌椅，使得每名学生上课时都能坐得舒适。此外，如“卷纸有多长”“车位租赁或购买的对比研究”等小课题都源于学生的日常生活。 
　　2.奇趣自然中的数学小课题 
　　自然界是丰富多彩的，植物、动物、微生物以及埋藏在地下成为化石的动植物，巍峨的高山、浩渺的海洋、冰封的极地……走进大自然，同样能找寻到与数学有关的小课题。
就拿和人类关系密切的动物来说吧。一直以来，人们普遍认为动物们的头脑比较简单，其实不然。有许多动物的头脑并非人们想象的那样愚钝，它们懂得计算、计量。比如丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形，“人”字形的角度约呈110度。围绕“动物与数学”这一小课题，学生兴趣盎然，他们分组查阅资料，有条件的进行实地考察，将收集到的资料分类整理，撰写研究小论文，最终进行全班交流。在交流中，同学们较为全面地认识了动物界的数学天才。此课题既激发了学生保护动物的意识，又调动了学生学习数学的兴趣，一举两得。 
　　3.科学知识中的数学小课题 
　　对于成人而言，通过多年的学习，我们已经掌握许多已被证实的科学知识，但这些知识对于学生而言却是一片空白。结合学生的认知水平适时引导学生展开相关的小课题研究，可以使这些深奥的知识以喜闻乐见的方式被学生接受。 
　　在学生学完“圆”的有关知识后，我们组织学生开展过“环形跑道内外之别”这一小课题的研究。这一小课题的提出也是基于学生的真实问题：在学校运动会上，他们发现进行400米赛跑时，在环形跑道中起跑时最外道的运动员在最前面，最内道的运动员却在最后面，为什么各个跑道上的运动员不在同一起跑线起跑呢？这样比赛公平吗？学生通过实地测量、精确计算、查阅资料，弄清了不同道次上运动员起跑地点不同的原因，并在体育老师的指导下学会了合理设置不同道次运动员的起跑线。 
　　4.传统文化中的数学小课题 
　　中国传统文化源远流长，博大精深，凝聚着中华炎黄子孙改造世界的辉煌业绩。当我们走近那些古代文化瑰宝，睁开慧眼，同样能发现一些有趣的问题适合学生开展研究。 
　　我们在一些资料中看到明朝《算法统宗》中记录一种特殊的乘法计算方法：在画好的格子里记入相应的数字，根据记录好的数用乘法口诀进行计算。计算的结果图形如我国古代织出的锦缎，因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——“铺地锦”。仔细比照“铺地锦”的计算方法，不难发现它与我们现在通用的竖式计算乘法的算法、算理是相通的。于是，在学生学习“两位数乘两位数”之后，我们便开展了“铺地锦”这一小课题研究。学生在深深折服于华夏先哲无穷智慧的同时，进一步明晰了“两位数乘两位数”的算理和算法，为后续多位数乘法的学习奠定了坚实的基础。 
　　我们清醒地认识到，可供研究的“数学小课题”绝不仅限于上述四个方面，而仅凭数学组老师的力量显然不够，于是我们充分发挥全体学生的作用，不同的学生来自不同的家庭，不同的家长有不同的经历、背景，这是一笔宝贵的财富。于是，我们向全校学生以及家长发出“数学小课题征集令”，短短几天，便收集了上百条“数学小课题”，在此基础上，我们分年级组筛选，从中选出最适合小学生开展研究的小课题，每年级10個，然后组织老师编写《小学生数学小课题研究实验册》。经过多轮实践和修改后，该册已交付出版社出版，相信它一定可以为学生的数学学习生活增添无限精彩。 
　　二、数学小课题的实施 
　　编写成形的《小学生数学小课题研究实验册》是开展“综合与实践”活动的重要基础，但数学小课题研究活动的开展又不同于日常的课堂教学。为使数学小课题研究活动与日常的数学教学活动完美结合，我们在不断摸索着、实践着…… 
　　（一）时间安排 
　　相对于较为固定的数学课时，开展数学小课题研究活动没有法定的课时，为此，我们结合学校现状，挖掘出以下几种途径： 
　　1.机动课时 
　　学生每学期在校时间不尽相同。若我们以每学期平均18周计算，每天一节数学课，大约90课时。而现行各册教材都不可能安排90课时的教学内容，一学期大约有20%的教学时间留作机动，以便于教师创造性地安排教学。因此，我们可以充分利用这些机动时间，配合教学进度适时安排与教材内容密切相关的小课题研究。如，在学生学习完“圆柱和圆锥”的有关知识后，我们专门利用一课时组织学生开展了一次“卷纸有多长”的小课题研究。在短短一节课中，学生设计并实施了直接测量、用质量测算、用体积测算、用面积测算等多种方法，积累了丰富的活动经验，提升了自己运用数学知识解决问题的综合能力。 
　　2.午休时间 
　　随着时代的变迁，现在学生早晨到校上学后，中午一般都在学校吃饭，下午放学后才回家。这样一来，从吃完午饭到下午正式上课之间大约有90分钟午休时间。于是，我们可以充分利用这一段时间，走出课堂，组织学生在校内开展一些小课题研究。比如，在学习完“比例”的相关知识后，教师利用午休时间带领学生走到操场，研究“旗杆有多高”，学生自由组建研究小组，设计测量方案并付诸实施。这个过程不仅丰富了学生校内课余生活，也培养了学生学以致用的能力。 
　　3.亲子活动 
　　当下对于学生的教育已不再是学校单方面事情，家庭、社会都在积极地行动着。因此，我们应整合各方面的力量开展教育教学活动，数学小课题研究活动更是如此。有许多小课题受时间、场地和工具的限制，无法在学校开展。于是，我们充分争取到家长的配合，利用亲子活动的时间和孩子一起就某个小课题开展研究。我们曾组织学生开展过“从家到学校的路线研究”，围绕这一主题，家长陪伴着孩子，各显神通，选取不同的切口，开展了多元的研究：有的从最短路线入手，有的从不同交通工具入手，有的从家到学校的距离入手……丰富多彩的研究让“数学好玩”的一面尽情彰显。 
　　（二）基本方法 
　　“数学小课题研究”区别于一般的数学课堂教学，其开展研究的方法更为灵活多样。我们在综合考量不同年级学生的年龄特征、认知方式以及“数学小课题”自身特点的基础上，选取合适的方法开展研究活动。 
　　1.数学实验 
　　近几年，在大学、中学数学实验教学研究的带动下，小学数学实验教学的研究也如火如荼地开展着。数学实验是学生通过观察、操作、试验等实践活动习得知识、提高技能、积累经验、发展应用意识的一种学习方式。它着力于学生的学，是以“人人参与实际操作”为特征的数学验证或探究活动。[4]从中我们不难看出，“数学小课题研究”与“数学实验”之间存在着一些天然的联系，它们都力求开辟一条学生自己动手“做数学”的道路。因此，“数学实验”是我们开展“数学小课题研究”最主要的方式。“橡皮筋的弹性”“一张纸最多折多少次”“跳绳长度与身高的关系”等数学小课题的研究都是在学生自行设计研究方案，并反复实验的基础上获得真实、可靠的结论。
2.调查统计 
　　调查统计是开展研究活动的重要手段，对于数学小课题研究也不例外。我们开展的“小学生视力情况调查”“家庭阶梯电价情况调查”等数学小课题都离不开学生的调查统计。活动中，他们组团走到不同的班级、走进不同的家庭就研究主题展开调查，收集一手数据，为后续研究的顺利开展做好充分的准备。同时，学生的“数据分析观念”也将在这样的过程中得以慢慢滋养。相比这下，教材中的問题，大多数提供了现成的数据，不难想象，若学生一直过着这种“衣来伸手饭来张口”的学习生活，久而久之，他们独立收集信息、解决问题的能力将难以得到锻炼。 
　　3.数学游戏 
　　心理学研究表明：促进人们素质、个性发展的最主要的途径是人们的实践活动，而对于小学阶段的儿童而言，游戏是他们这个年龄阶段特有的实践活动形式，也是启发心智与兴趣，达到身心愉悦的最佳方式。将“数学小课题研究”与游戏有机结合在一起，必能最大限度地发挥他们的主观能动性，省时高效地完成任务。我们编写的《小学生数学小课题研究实验册》在不同年级中，分别设计了“巧算24点”“抢报‘30’的秘密”“数独游戏”“棋子游戏”等数学游戏。这些数学小课题的开展以学生游戏为主线，在尽情地游戏中启发学生主动探究背后的规律，不断提升游戏的思维含量。 
　　4.观察日记 
　　有些数学小课题的研究不是一节课时间能解决的，需要一段时间的持续研究。比如，我们曾带领二年级学生做过“豆芽的生长研究”这一小课题：学生在班级或家庭选取不同种类的豆种，设置不同的条件进行对比培植，每天定时展开观察，记录豆种每天的变化;待豆种发芽后，每天测量豆芽的长度，用观察日记的形式完美地记录了豆芽的生长过程。同时，这种对比研究也清晰地揭示了影响豆芽生长速度的因素。在这样的研究过程中，学生科学的态度、严谨的精神都得到有效发展，这些会让他们终身受益。 
　　5.文献分析 
　　“文献分析法”主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究，形成对事实科学认识的方法。当下，成人开展各级各类课题研究都会用到这一方法。“数学小课题”中也有这么一类，受各种客观条件的限制，我们无法直接就主题展开研究，只能通过查阅含有研究对象的信息的各种载体，借助各种资料中的信息内容进行分析，从而展开对主题的间接研究。比如在学生认识了基本的时间单位年、月、日、时、分、秒后，我们组织学生开展了小课题“古时候人们是怎么计时的”的研究。显然，我们无法穿越到古代去找寻当时的计时工具展开研究，只能通过查阅相关文献资料，了解古代的计时工具及其计时方法。通过本次文献分析研究，学生更为细致、全面地了解了古代的计时工具，增强了民族自豪感。 
　　三、数学小课题实践思考 
　　“数学小课题研究”作为一个新生话题，在各年级开展顺利，受到广大师生一致好评。几年来，在实践的过程中，我们不断反思，以期更加完美地开展数学小课题研究活动。 
　　（一）注重因材施教 
　　“因材施教”是儒家学者根据孔子的教学方法概括出的一条优秀教学原则。外国教育家也有类似的观点。美国教育家、心理学家霍华德·加德纳通过研究脑部受创伤的病人，发觉到他们在学习能力上的差异，从而提出多元智能理论。这些都启示我们在教学中要根据不同学生的认知水平、学习能力以及自身素质，选择适合不同学生特点的学习方法来进行针对性的教学，旨在发挥学生的长处，弥补学生的不足，激发学生学习的兴趣，树立学生学习的信心，从而促进学生全面发展。 
　　这在当初我们编写《小学生数学小课题研究实验册》时便有所考虑，从第一学段到第二学段，由扶到放地编写了不同层次的数学小课题。其中，既有研究思路完整的小课题，也有提供基本研究框架的小课题，还有完全开放的、供学生自主设计研究方案的小课题。对于其中难度稍低的小课题便面向全体学生开展，对于难度稍大的小课题只布置给学有余力的学生研究。在开展数学小课题研究的过程中，我们发现大部分学生都十分喜欢小课题研究，但也有一部分学生（数学学习存在障碍的）存在畏难心理。因此，我们正视并尊重学生之间的差异，合理组建研究小组，让不同智能类型的学生组成一个研究小组，共同开展研究活动，从而使得全体学生都能参与研究。当然，在开展研究的过程中，教师要密切关注，及时给予适当的指导。有了教师的指导，研究活动才不会盲目地进行，每个学生才能在这样的过程中体验和享受到成功的喜悦，进而更加亲近数学。 
　　（二）彰显学科特色 
　　课程改革时至今日，各种各样的综合实践课程充斥着大家的眼球。有时我们也会在不经意间看到一些精彩纷呈的数学综合实践活动课。起初，会眼前一亮，但热闹过后，静静思考，我们会发现这样的数学课堂似乎缺失了什么：学生很活跃，却看不见思维碰撞;形式很丰富，却没什么实质内容，一言以蔽之，数学课程应有的“数学味”变淡了。众所周知，数学是研究数量关系与空间形式的科学。它是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程。这一过程理应充满着观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动。而数学课程一旦失去了“数学味”，也就失去了它原有的意义与价值。 
　　“数学小课题研究”则完全基于学生的数学现实，每一个选题都源于教材而又高于教材，这就从内容上保证了研究内容的“数学味”。在研究方法的选择上，我们都引领学生用数学的方式开展，这在编写《小学生数学小课题研究实验册》时就已关注，每一个小课题研究分为“生活链接”“研究记录”“探究延伸”三个版块。其中，在“研究记录”版块右侧我们都列举了“猜一猜”“做一做”“量一量”“记一记”“问一问”等十种方法供学生研究后反思并勾选。对于某一个小课题研究，这十种方法不一定都会涉及，只会综合运用其中某些方法。随着相关活动经验的不断积累，学生逐步学会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界”。 
　　（三）实施多元评价
評价历来是教学研究过程中一个较难以把握的话题。对于“数学小课题研究”活动的评价，我们仍应坚守数学课程的基本理念，不仅关注学生研究的结果，更要关注学生在研究过程中的发展和变化，从而全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决与情感态度等方面的综合表现。每一个“数学小课题研究”后，教师都引领学生记录下自己的研究历程或研究心得，评价也是记录的重要内容之一。 
　　在“卷纸有多长”这一小课题研究之后，有学生撰写了数学小论文《数学真好玩——“卷纸有多长”研究纪实》。文中，小作者详实地记录了同学们研究卷纸长度时采用的直接测量、用质量测算、用体积测算、用面积测算等四种方法的过程与结果。最后，小作者写道： 
　　做数学小课题研究与平时做数学作业不一样，数学作业答案基本是统一的，而数学小课题研究的结果却不尽相同。今天，我们用四种方法测量了卷纸的长度，出现了四种结果，虽然有的方法与实际结果相差较小，有的方法与实际结果相差较大，但大家都开动脑筋思考不同的方法，并进行了测量、计算。其实，这些方法都是可行的，只是由于我们的工具不够精确，出现了一些误差。相信只要有了更精确的工具，我们就会研究出更精准的结果…… 
　　从中，我们不难看出，学生已能客观全面地评价他们所开展的小课题研究活动。无疑，来自各方面积极中肯的评价会激起他们对下一次研究活动的向往。 
　　“数学小课题研究”的课题虽小，但给学生的研究空间却很大，结合日常的课堂教学引导学生饶有兴趣地投身到现实的、探索性的小课题研究活动中去，可以让学生走出教材、走出课堂，感受数学的魅力，享受学习的快乐。 
　　参考文献： 
　　[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社， 2012：4. 
　　[2]李军.十年磨一剑——日照市“数学小课题研究”素描[J].山东教育， 2014（16）：34～39. 
　　[3]季迅群.小学数学小课题研究的实践与反思[J].小学数学教育， 2015（5）：19～20. 
　　[4]刘正松.数学实验：推开数学学习的另一扇窗——以《两、三位数除以一位数》为例[J].教育研究与评论（小学教育教学）， 2015（8）：12～15. 
　　Mathematics Research on Small Subjects： Development and Implementation 
　　LIU Zheng-song 
　　（Xincheng Primary School Attached to Nanjing Normal University， Nanjing 210019， China） 
　　 Abstract： “Mathematics research on small subjects” views students as the main body of research， which revolves around students’ daily lives and problems with their learning to guide them to comprehensively use their basic knowledge， skills， thoughts and experience to solve the problems in practice. Such research has been conducted to effectively cultivate students’ awareness of application and innovation and to promote their comprehensive qualities. As a new study in the field of integration and practice， a series of research on small subjects has become a top priority. 
　　 Key words： mathematics research on small subject; subject development; subject implementation
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